抛物线方程为y2=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边．
（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；
（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f（m）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若m变化，使得原点O到直线QR的距离不大于22，求p的值的范围．
2
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合；二次函数的性质与图象．
【答案】（1）∵抛物线y2=p（x+1）的准线方程是x=-1-
∵直线x+y=m与x轴的交点为（m，0）在准线右边
∴m＞-1-，即4m+p+4＞0．
由
得x2-（2m+p）x+（m2-p）=0．
而判别式Δ=（2m+p）2-4（m2-p）=p（4m+p+4）．
又p＞0及4m+p+4＞0，可知Δ＞0．
因此，直线与抛物线总有两个交点；
（2）f（m）=，m＞-2，m≠0；…
（3）（0，1]
p
4
∵直线x+y=m与x轴的交点为（m，0）在准线右边
∴m＞-1-
p
4
由
y 2 = p （ x + 1 ） |
x + y = m |
得x2-（2m+p）x+（m2-p）=0．
而判别式Δ=（2m+p）2-4（m2-p）=p（4m+p+4）．
又p＞0及4m+p+4＞0，可知Δ＞0．
因此，直线与抛物线总有两个交点；
（2）f（m）=
m
2
m
+
2
（3）（0，1]
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：20引用：1难度：0.1
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