已知函数
f
（
x
）
=
a
（
1
-
1
x
2
）
-
lnx
x
2
+
（
x
-
1
）
2
．
（1）当
a
=
1
2
时，求f（x）的单调区间；
（2）证明：当
0
＜
a
＜
1
2
时，对任意
x
∈
（
1
a
-
1
，
+
∞
）
，总有
f
（
x
）
＞
（
1
a
-
2
）
2
．

【答案】（1）f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（2）证明详情见解答．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：46引用：1难度：0.6

相似题

1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：296引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：187引用：2难度：0.1
解析
3．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：47引用：4难度：0.5
解析

已知函数f（x）=a（1-1x2）-lnxx2+（x-1）2．（1）当a=12时，求f（x）的单调区间；（2）证明：当0＜a＜12时，对任意x∈（1a-1，+∞），总有f（x）＞（1a-2）2．