如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-43x2-83x+4与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC．
（1）求线段AC的长度；
（2）如图1，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点B作BD∥AC交y轴于点D，连接PD交AC于点E，连接BP，求△PBE面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点Q与点P关于原抛物线对称轴对称，将原抛物线沿着射线AQ方向平移5个单位，得到新抛物线y'，M为直线l：y=x+133与y轴的交点，N为直线l上一点，将直线l绕着点N逆时针旋转30°得到直线l′，交新抛物线于点G，点H为平面直角坐标系内任意一点，直接写出所有使得四边形MNGH为菱形的点G的横坐标．
y
=
-
4
3
x
2
-
8
3
x
+
4
5
l
：
y
=
x
+
13
3
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）线段AC的长度为5；
（2）S△PBE的最大值为，此时点P的坐标为（-，5）；
（3）点G的横坐标为-或或-或．
（2）S△PBE的最大值为
3
2
3
2
（3）点G的横坐标为-
3
3
+
3
19
8
3
19
-
3
3
8
3
3
4
3
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/21 12:0:1组卷：601引用：2难度：0.2
相似题
-
1．已知二次函数解析式为y=x2-bx+2b-3．
（1）当抛物线经过点（1，2）和点（m,n）时，等式m2-4m-n=-5是否成立？并说明理由；
（2）已知点P（4，5）和点Q（-1，-5），且线段PQ与抛物线只有一个交点，求b的取值范围．发布：2025/5/23 13:0:1组卷：278引用：1难度：0.4 -
2．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（4，0），抛物线的对称轴为直线x=1，直线AD交抛物线于点D（2，m）．
（1）求抛物线和直线AD的解析式；
（2）如图1，点Q是线段AB上一动点，过点Q作QE∥AD，交BD于点E，连接DQ，若点Q的坐标为（m,0），求△QED的面积S与m的函数表达式，并写出S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值，并直接写出此时点E的坐标；
（3）如图2，直线AD交y轴于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．
发布：2025/5/23 13:30:1组卷：898引用：4难度：0.4 -
3．已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在BC上方的抛物线上有一动点P．
①如图1，当点P运动到某位置时，以线段BP，BO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；
②如图2，过动点P作PD⊥BC于点D，求线段PD长的最大值．发布：2025/5/23 13:30:1组卷：165引用：1难度：0.2
