已知函数
f
（
x
）
=
alnx
-
x
+
2
x
．
（1）当a=3时，求f（x）的单调区间；
（2）①若
f
（
x
）
≤
2
x
-
1
恒成立，求a的值；
②求证：对任意正整数n（n≥2），都有
（
1
+
1
2
2
）
（
1
+
1
3
2
）
（
1
+
1
4
2
）
…
（
1
+
1
n
2
）
＜
e
（其中e为自然对数的底数）

【答案】（1）f（x）的单调增区间是（1，2），单调减区间是（0，1），（2，+∞）．
（2）①a=1．
②见证明过程．

【解答】

【点评】

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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：285引用：6难度：0.1

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1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：296引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：187引用：2难度：0.1
解析
3．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：47引用：4难度：0.5
解析

已知函数f（x）=alnx-x+2x．（1）当a=3时，求f（x）的单调区间；（2）①若f（x）≤2x-1恒成立，求a的值；②求证：对任意正整数n（n≥2），都有（1+122）（1+132）（1+142）…（1+1n2）＜e（其中e为自然对数的底数）