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请阅读下列材料,完成相应的任务:
罗狄斯托勒密(Claudius Ptolemaeus,约90年168年),“地心说”的集大成者,生于埃及,著名的天文学家,地理学家、占星学家和光学家.
托勒密定理实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密从他的书中摘出并加以完善.
托勒密定理:圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.
如图1,四边形ABCD内接于⊙O,求证:AB•CD+BC•AD=AC•BD
下面是该结论的证明过程:
证明:如图1,作∠BAE=∠CAD,交BD于点E.∵
ˆ
AD
=
ˆ
AD
,∴∠ABE=∠ACD(依据1),∴△ABE∽△ACD(依据2),∴
AB
AC
=
BE
CD
,∴AB•CD=AC•BE,∵
ˆ
AB
=
ˆ
AB
,∴∠ACB=∠ADE,∵∠BAE=∠CAD,∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC,即∠BAC=∠EAD,…
任务:
(1)托勒密定理的逆命题是
如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,那么这个四边形是圆的内接四边形
如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,那么这个四边形是圆的内接四边形
;上述证明过程中的“依据1”为
同弧所对的圆周角相等
同弧所对的圆周角相等
;依据2”为
两个角分别对应相等的两个三角形相似
两个角分别对应相等的两个三角形相似

(2)请完成后续证明;
(3)如图2,以AB为直径的⊙O中,点C为⊙O上一点,且∠ABC=30°,∠ACB的角平分线交⊙O于点D,连接AD,BD,若AB=4,求CD的长.

【考点】圆的综合题
【答案】如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,那么这个四边形是圆的内接四边形;同弧所对的圆周角相等;两个角分别对应相等的两个三角形相似
【解答】
【点评】
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发布:2024/6/27 10:35:59组卷:606引用:2难度:0.4
相似题
  • 1.如图1,⊙O的直径AB=4
    2
    ,C为直径AB下方半圆上一点,∠ACB的平分线交⊙O于点D,连接AD、BD.
    (1)判断△ABD的形状,并说明理由;
    (2)如图2,点F是弧AD上一点,BF交AD于点E,求证:FE•EB=AE•DE;
    (3)在(2)的条件下,若AF=0.8,求FE的长.

    发布:2025/6/11 17:30:2组卷:133引用:3难度:0.5
  • 2.如图,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长为1个单位的小正方形,点A、B、C都是格点(每个小方格的顶点叫格点),其中A(1,8),B(3,8),C(4,7).
    (1)△ABC外接圆的圆心坐标是

    (2)△ABC外接圆的半径是

    (3)已知△ABC与△DEF(点D、E、F都是格点)成位似图形,则位似中心M的坐标是

    (4)请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC,且相似比为
    2
    :1.

    发布:2025/6/11 18:0:1组卷:224引用:6难度:0.2
  • 3.根据以下素材,探索完成任务.
    如何确定隧道的限高?
    素材1 从小清家到附近山区的一条双行线公路上有一个隧道,在隧道口有一个限高标志(如图1),表示禁止装载高度(车顶最高处到地面)超过3.5m的车辆通行.那么这个限高3.5m是如何确定的呢?
    素材2 小清通过实地调查和查阅相关资料,获得以下信息:
    ①隧道的横截面成轴对称,由一个矩形和一个弓形构成.
    ②隧道内的总宽度为8m,双行车道宽度为6m,隧道圆拱内壁最高处距路面5m,矩形的高为2m,车道两侧的人行道宽1m.
    ③为了保证安全,交通部门要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道圆拱内壁在竖直方向上的高度差相差最少0.2m.
    问题解决
    任务1 计算半径 求图1中弓形所在圆的半径.
    任务2 确定限高 如图2,在安全的条件下,3.5m的限高是如何确定的?请通过计算说明理由.(参考数据:
    301
    ≈17.35,结果保留一位小数)
    任务3 尝试设计 如果要使高度不超过3.3m,宽为2.5m的货车能顺利通过这个隧道,且不改变隧道内的总宽度(8m)和矩形的高(2m),如何设计隧道的弓形部分(求弓形所在圆的半径至少为多少米?)(参考数据:
    89
    ≈9.44,结果保留一位小数)

    发布:2025/6/11 18:30:2组卷:381引用:1难度:0.1
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