请阅读下列材料，完成相应的任务：
罗狄斯托勒密（Claudius Ptolemaeus,约90年168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家、占星学家和光学家．
托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．
托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
如图1，四边形ABCD内接于⊙O，求证：AB•CD+BC•AD=AC•BD
下面是该结论的证明过程：
证明：如图1，作∠BAE=∠CAD，交BD于点E．∵ˆAD=ˆAD，∴∠ABE=∠ACD（依据1），∴△ABE∽△ACD（依据2），∴ABAC=BECD，∴AB•CD=AC•BE，∵ˆAB=ˆAB，∴∠ACB=∠ADE，∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，…
任务：
（1）托勒密定理的逆命题是 如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；上述证明过程中的“依据1”为 同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角相等；依据2”为 两个角分别对应相等的两个三角形相似两个角分别对应相等的两个三角形相似；
（2）请完成后续证明；
（3）如图2，以AB为直径的⊙O中，点C为⊙O上一点，且∠ABC=30°，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，连接AD，BD，若AB=4，求CD的长．
ˆ
AD
=
ˆ
AD
AB
AC
=
BE
CD
ˆ
AB
ˆ
AB
【考点】圆的综合题．
【答案】如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：606引用：2难度：0.4
相似题
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1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，AB=10，CD=6，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交⊙O于点Q，连结CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．
（1）如图1，当DP=4时，求tan∠P的值；
（2）如图2，连结AC，DQ，在点P运动过程中，设DP=x,．S△QACS△QDC=y
①求证：∠ACQ=∠CPA；
②求y与x之间的函数关系式．发布：2025/6/13 1:0:1组卷：2067引用：6难度：0.3 -
2．如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上任意一点，连接OC，过点A作OC的平行线，交⊙O于点D，连接CD．
（1）如图1，求证：CO平分∠BCD；
（2）如图2，点F在线段DO的延长线上，连接AF交CD于E，若AE=EF，求证：DA=DF；
（3）如图3，在（2）条件下，延长AF交线段BC于点G，若CD=12，BG=4，求AF的长．发布：2025/6/13 1:30:1组卷：79引用：2难度：0.2 -
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BCD．
（1）如图1，求证：AB=AD；
（2）如图2，点E在弧AD上，弧CE=弧BC，延长CD、AE交于点F，求证：AF=AD．
（3）在（2）的条件下，如图3，连接ED并延长ED交AC延长线于点P，连接PF，若PF=AF=4，PE=10，求⊙O的半径．5
发布：2025/6/13 2:0:4组卷：103引用：1难度：0.3
