请阅读下列材料，完成相应的任务：
罗狄斯托勒密（Claudius Ptolemaeus,约90年168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家、占星学家和光学家．
托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．
托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
如图1，四边形ABCD内接于⊙O，求证：AB•CD+BC•AD=AC•BD
下面是该结论的证明过程：
证明：如图1，作∠BAE=∠CAD，交BD于点E．∵ˆAD=ˆAD，∴∠ABE=∠ACD（依据1），∴△ABE∽△ACD（依据2），∴ABAC=BECD，∴AB•CD=AC•BE，∵ˆAB=ˆAB，∴∠ACB=∠ADE，∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，…
任务：
（1）托勒密定理的逆命题是 如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；上述证明过程中的“依据1”为 同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角相等；依据2”为 两个角分别对应相等的两个三角形相似两个角分别对应相等的两个三角形相似；
（2）请完成后续证明；
（3）如图2，以AB为直径的⊙O中，点C为⊙O上一点，且∠ABC=30°，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，连接AD，BD，若AB=4，求CD的长．
ˆ
AD
=
ˆ
AD
AB
AC
=
BE
CD
ˆ
AB
ˆ
AB
【考点】圆的综合题．
【答案】如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：606引用：2难度：0.4
相似题
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1．如图1，⊙O的直径AB=4
，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD、BD．2
（1）判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）如图2，点F是弧AD上一点，BF交AD于点E，求证：FE•EB=AE•DE；
（3）在（2）的条件下，若AF=0.8，求FE的长．
发布：2025/6/11 17:30:2组卷：133引用：3难度：0.5 -
2．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）△ABC外接圆的圆心坐标是；
（2）△ABC外接圆的半径是；
（3）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是；
（4）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．2发布：2025/6/11 18:0:1组卷：224引用：6难度：0.2 -
3．根据以下素材，探索完成任务．
如何确定隧道的限高？ 素材1 从小清家到附近山区的一条双行线公路上有一个隧道，在隧道口有一个限高标志（如图1），表示禁止装载高度（车顶最高处到地面）超过3.5m的车辆通行．那么这个限高3.5m是如何确定的呢？ 
素材2 小清通过实地调查和查阅相关资料，获得以下信息：
①隧道的横截面成轴对称，由一个矩形和一个弓形构成．
②隧道内的总宽度为8m,双行车道宽度为6m,隧道圆拱内壁最高处距路面5m,矩形的高为2m,车道两侧的人行道宽1m.
③为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道圆拱内壁在竖直方向上的高度差相差最少0.2m.
问题解决 任务1 计算半径 求图1中弓形所在圆的半径． 任务2 确定限高 如图2，在安全的条件下，3.5m的限高是如何确定的？请通过计算说明理由．（参考数据： ≈17.35，结果保留一位小数）301任务3 尝试设计 如果要使高度不超过3.3m,宽为2.5m的货车能顺利通过这个隧道，且不改变隧道内的总宽度（8m）和矩形的高（2m），如何设计隧道的弓形部分（求弓形所在圆的半径至少为多少米？）（参考数据： ≈9.44，结果保留一位小数）89发布：2025/6/11 18:30:2组卷：381引用：1难度：0.1
