如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，BC=3．点P从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，在线段BP的延长线上取一点Q，使得PQ=2BP，以PQ为斜边向下作Rt△QPN，其中PN∥AB，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求证：△QPN∽△ABC；
（2）当点N落在边AC上时，求t的值；
（3）当△QPN被△ABC的边AC分成的两部分面积比为1：8时，求t的值；
（4）如图2，作点N关于AC的对称点N′，连接AN′，当直线AN′与△ABC的直角边垂直时，直接写出t的值．
【考点】相似形综合题．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）t的值为或；
（4）t的值为或2．
（2）
t
=
6
5
（3）t的值为
9
8
9
-
3
3
2
（4）t的值为
6
5
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/29 17:0:2组卷：76引用：2难度：0.3
相似题
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1．如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．
（1）求证：△APQ∽△CDQ；
（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．
①当t为何值时，DP⊥AC？
②设S△APQ+S△DCQ=y,写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．发布：2025/7/1 13:0:6组卷：2096引用：6难度：0.1 -
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：①=AGAB；②若点D是AB的中点，则AF=AFFCAB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若23=DBAD，则S△ABC=9S△BDF，其中正确的结论序号是（ ）12发布：2025/6/24 16:30:1组卷：2780引用：11难度：0.2 -
3．【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：
当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF．
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．
发布：2025/6/24 15:30:2组卷：1872引用：6难度：0.1
