（理科）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，且AQ=λQB，AE=μEB．求证：λ+μ为定值，并计算出该定值．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
AQ
=
λ
QB
AE
=
μ
EB
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（1）；
（2）证明：由题意直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1y1），B（x2，y2），E（-4，y0）
直线方程代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2+8k2x+4k2-4=0，∴Δ=48k2+16＞0
x1+x2=-，x1x2=
∵，∴λ=
∵，∴μ=
∴λ+μ=+=- = =0．
x
2
4
+
y
2
=
1
（2）证明：由题意直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1y1），B（x2，y2），E（-4，y0）
直线方程代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2+8k2x+4k2-4=0，∴Δ=48k2+16＞0
x1+x2=-
8
k
2
1
+
4
k
2
4
k
2
-
4
1
+
4
k
2
∵
AQ
=
λ
QB
x
1
+
1
x
2
+
1
∵
AE
=
μ
EB
x
1
+
4
x
2
+
4
∴λ+μ=
x
1
+
1
x
2
+
1
x
1
+
4
x
2
+
4
2
x
1
x
2
+
5
（
x
1
+
x
2
）
+
8
（
x
2
+
1
）
（
x
2
+
4
）
2
×
4
k
2
-
4
1
+
4
k
2
+
5
×
8
k
2
1
+
4
k
2
+
8
（
x
2
+
1
）
（
x
2
+
4
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：63引用：2难度：0.3
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1．点P在以F1，F2为焦点的双曲线
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
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．5
（1）求曲线C的方程；
（2）过F1（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面积．发布：2024/12/29 10:30:1组卷：103引用：1难度：0.9 -
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发布：2024/12/29 10:30:1组卷：26引用：5难度：0.7
