已知直线l：X-y+1=0，⊙O：x2+y2=2上的任意一点P到直线l的距离为d.当d取得最大时对应P的坐标（m,n），设g（x）=mx+nx-2lnx.
（1）求证：当x≥1，g（x）≥0恒成立；
（2）讨论关于x的方程：mx+nx-g（x）=2x3-4ex2+tx根的个数．
n
x
mx
+
n
x
-
g
（
x
）
=
2
x
3
-
4
e
x
2
+
tx
【答案】（1）证明：由题意得P（1，-1），
∴m=1，n=-1∴
∴，
∴g（x）在[1，+∞）是单调增函数，
∴g（x）≥g（1）=1-1-2ln1=0对于x∈[1，+∞）恒成立．
（2）①当时，方程无解；②当时，方程有一个根；③当时，方程有两个根．
∴m=1，n=-1∴
g
（
x
）
=
mx
+
n
x
-
2
lnx
=
x
-
1
x
-
2
lnx
∴
g
′
（
x
）
=
1
+
1
x
2
-
2
x
=
x
2
-
2
x
+
1
x
2
=
（
x
-
1
）
2
x
2
≥
0
∴g（x）在[1，+∞）是单调增函数，
∴g（x）≥g（1）=1-1-2ln1=0对于x∈[1，+∞）恒成立．
（2）①当
t
＞
2
e
2
+
2
e
t
=
2
e
2
+
2
e
t
＜
2
e
2
+
2
e
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：133引用：4难度：0.1
