已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点（1，32）且离心率为12，F1，F2是椭圆E的左，右焦点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过原点的直线l1与椭圆交于A，B两点，AB不与x轴垂直，连接AF2，BF2，l2为∠AF2B的外角平分线，l3为直线x=4，求证：直线l1，l2，l3三线交于一点．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
2
1
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AB：y=kx+m，
设l1与l3交于P点，
只需证P在l2上，即只需证P到AF2、BF2的距离相等，
易知P（4，4k），AF2：y=，
点P（4，4k）到AF2的距离为：d1===2|k|，
因为点A在直线AB：y=kx+m和椭圆：上，
所以y1=kx1+m且+=1，
∴d1===2|k|，
同理点P（4，4k）到BF2的距离d2=2|k|，
∴d1=d2，
综上所述：直线l1，l2，l3三线交于一点．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AB：y=kx+m，
设l1与l3交于P点，
只需证P在l2上，即只需证P到AF2、BF2的距离相等，
易知P（4，4k），AF2：y=
y
1
x
1
-
1
（
x
-
1
）
点P（4，4k）到AF2的距离为：d1=
|
3
y
1
x
1
-
1
-
4
k
|
1
+
（
y
1
x
1
-
1
）
2
|
3
（
k
x
1
）
x
1
-
1
-
4
k
|
1
+
（
y
1
x
1
-
1
）
2
因为点A在直线AB：y=kx+m和椭圆：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
所以y1=kx1+m且
x
1
2
4
y
1
2
3
∴d1=
|
3
（
k
x
1
+
m
）
x
1
-
1
-
4
k
-
m
|
1
+
3
（
1
-
x
1
2
4
）
（
x
1
-
1
）
2
2
|
（
k
+
m
）
（
x
1
-
4
）
|
|
x
1
-
4
|
同理点P（4，4k）到BF2的距离d2=2|k|，
∴d1=d2，
综上所述：直线l1，l2，l3三线交于一点．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：33引用：1难度：0.2
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