已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点，
（1）若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
（2）是否存在这样的实数a,使A、B两点关于直线y=12x对称？说明理由．
y
=
1
2
x
【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．
【答案】（1）a=±1；
（2）不存在，理由如下：
假定存在这样的a，使A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线对称．…（8分）
那么：
，两式相减得：3（-）=-，从而
因为A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线对称，所以
代入（*）式得到：-2=6，矛盾．
也就是说：不存在这样的a，使A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线对称．
（2）不存在，理由如下：
假定存在这样的a，使A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线
y
=
1
2
x
那么：
3 x 1 2 - y 1 2 = 1 |
3 x 2 2 - y 2 2 = 1 |
x
2
1
x
2
2
y
2
1
y
2
2
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
=
3
（
x
1
+
x
2
）
y
1
+
y
2
…
（
*
）
因为A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线
y
=
1
2
x
y 1 + y 2 2 = 1 2 × x 1 + x 2 2 |
y 1 - y 2 x 1 - x 2 = - 2 |
代入（*）式得到：-2=6，矛盾．
也就是说：不存在这样的a，使A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线
y
=
1
2
x
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/4/20 14:35:0组卷：119引用：10难度：0.3
相似题
-
1．点P在以F1，F2为焦点的双曲线
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
2．已知两个定点坐标分别是F1（-3，0），F2（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于2
．5
（1）求曲线C的方程；
（2）过F1（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面积．发布：2024/12/29 10:30:1组卷：103引用：1难度：0.9 -
3．若过点（0，-1）的直线l与抛物线y2=2x有且只有一个交点，则这样的直线有（ ）条．
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：26引用：5难度：0.7
