当前位置：
试题详情
已知点P（2，0）及圆C：（x-3）2+（y+2）2=9．
（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a,使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【答案】（Ⅰ）当l的斜率存在时，l的方程为3x+4y-6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2；
（Ⅱ）不存在，理由：
把直线y=ax+1．代入圆C的方程，
消去y，整理得（a2+1）x2+6（a-1）x+9=0．
由于直线ax-y-1=0交圆C于A，B两点，
故Δ=36（a-1）2-36（a2+1）＞0，
即-2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（-∞，0）．
设符合条件的实数a存在，
由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，-2）必在l2上．
所以l2的斜率kPC=-2，而，所以．由于，
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．
（Ⅱ）不存在，理由：
把直线y=ax+1．代入圆C的方程，
消去y，整理得（a2+1）x2+6（a-1）x+9=0．
由于直线ax-y-1=0交圆C于A，B两点，
故Δ=36（a-1）2-36（a2+1）＞0，
即-2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（-∞，0）．
设符合条件的实数a存在，
由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，-2）必在l2上．
所以l2的斜率kPC=-2，而
k
AB
=
a
=
-
1
k
PC
a
=
1
2
1
2
∉
（
-
∞
，
0
）
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/5/23 20:38:36组卷：81引用：3难度：0.5
相似题
-
1．已知圆C1：（x-4）2+（y-2）2=20与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O与圆C1相切；
（1）求圆C2的方程；
（2）若圆C2上一动点M，直线MO与圆C1的另一交点为N，在平面内是否存在定点P使得PM=PN始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．发布：2024/10/16 15:0:1组卷：547引用：7难度：0.3 -
2．已知直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=16．
①过点P（4，2）作圆O的切线m,求m的方程；
②直线l：y=kx+b与圆O交于点M，N两点，已知T（8，0），若x轴平分∠MTN，证明：不论k取何值，直线l与x轴的交点为定点，并求出此定点坐标．发布：2024/9/25 3:0:1组卷：148引用：2难度：0.6 -
3．若直线ax+y=0始终平分圆x2+y2-2ax+2ay+2a2+a-1=0的周长，则a的值为（ ）
发布：2024/12/8 10:30:3组卷：359引用：2难度：0.8
