古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）下图反映了任何一个三角形数是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；
①1=1
②1+2=（1+2）×22=3
③1+2+3=（1+3）×32=6
④1+2+3+4=（1+4）×421+2+3+4=（1+4）×42；
（2）通过猜想，写出（1）中与第九个点阵相对应的等式1+2+3+…+9=（1+9）×921+2+3+…+9=（1+9）×92；
（3）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．结合（1）观察下列点阵图，并在⑤看面的黄线上写出相应的等式．
①1=12
②1+3=22
③3+6=32
④6+10=42
⑤10+15=5210+15=52；
（4）通过猜想，写出（3）中与第n个点阵相对应的等式（1+n-1）（n-1）2+（1+n）×n2=n2（1+n-1）（n-1）2+（1+n）×n2=n2；
（5）判断225是不是正方形数，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？
（
1
+
2
）
×
2
2
（
1
+
3
）
×
3
2
（
1
+
4
）
×
4
2
（
1
+
4
）
×
4
2
（
1
+
9
）
×
9
2
（
1
+
9
）
×
9
2
（
1
+
n
-
1
）
（
n
-
1
）
2
（
1
+
n
）
×
n
2
（
1
+
n
-
1
）
（
n
-
1
）
2
（
1
+
n
）
×
n
2
【考点】规律型：数字的变化类；规律型：图形的变化类．
【答案】1+2+3+4=；1+2+3+…+9=；10+15=52；+=n2
（
1
+
4
）
×
4
2
（
1
+
9
）
×
9
2
（
1
+
n
-
1
）
（
n
-
1
）
2
（
1
+
n
）
×
n
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：191引用：1难度：0.3
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