综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1所示，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．

探究展示：
如图2所示，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D=180°（依据1）
∵∠B=∠D
∴∠AEC+∠B=180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：
圆内接四边形对角互补
圆内接四边形对角互补
；
依据2：
过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
．
（2）如图3所示，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=42°，则∠4的度数为
42°
42°
．
拓展探究：
（3）如图4所示，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．求证：A，D，B，E四点共圆．

【考点】四点共圆．

【答案】圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；42°

【解答】

【点评】

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发布：2024/7/21 8:0:9组卷：236引用：1难度：0.3

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1．综合与实践
小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：

如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D=180°（依据1）．
∵∠B=∠D，∴∠AEC+∠B=180°，∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）．∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．

【反思归纳】（1）上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
依据1：
；依据2：
．
【拓展延伸】（2）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ANM，旋转角为α（0＜α＜90°），连接CM交BN于点D，连接BM．小明发现，旋转过程中，点D始终为BN的中点，为验证结论，小明连接AD，判断A，D，B，C四点共圆后得出结论．
①请你帮小明证明ND=DB；
②当△BDM为直角三角形，且BN=4时，请直接写出BC的长．

发布：2024/7/2 8:0:9组卷：315引用：1难度：0.1

发布：2024/9/21 14:0:9组卷：273引用：1难度：0.4