已知f（x）=12x2-x-aln（x-a），a∈R．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）若x1，x2是函数g（x）=f（x+a）-a（x+12a-1）的两个极值点，且x1＜x2，求证：0＜f（x1）-f（x2）＜12．
f
（
x
）
=
1
2
x
2
-
x
-
aln
（
x
-
a
）
，
a
∈
R
g
（
x
）
=
f
（
x
+
a
）
-
a
（
x
+
1
2
a
-
1
）
0
＜
f
（
x
1
）
-
f
（
x
2
）
＜
1
2
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【答案】（1）当a=0时，f（x）=x2-x，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
当a＞0时，f（x）在（a，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增，
当-1＜a＜0时，f（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a，0）和（a+1，+∞）上单调递增，
当a=-1时，f（x）在（-1，+∞）上单调递增，
当a＜-1时，f（x）在（a+1，0）上单调递减，在（a，a+1）和（0，+∞）上单调递增．
（2）证明详情见解答．
1
2
当a＞0时，f（x）在（a，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增，
当-1＜a＜0时，f（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a，0）和（a+1，+∞）上单调递增，
当a=-1时，f（x）在（-1，+∞）上单调递增，
当a＜-1时，f（x）在（a+1，0）上单调递减，在（a，a+1）和（0，+∞）上单调递增．
（2）证明详情见解答．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：291引用：3难度：0.6
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