已知圆O：x2+y2=1与x轴正半轴交于点A，与直线y=3x在第一象限的交点为B，点C为圆O上任一点，且满足OC=xOA+yOB，以x,y为坐标的动点D（x,y）的轨迹记为曲线Γ．
（1）求曲线Γ的方程；
（2）若两条直线l1：y=kx和l2：y=-1kx分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN面积的最大值，并求此时的k的值；
（3）研究曲线Γ的对称性并证明Γ为椭圆，并求椭圆Γ的焦点坐标．
y
=
3
x
OC
=
x
OA
+
y
OB
l
2
：
y
=
-
1
k
x
【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．
【答案】（1）x2+y2+xy=1．
（2）当k=±1时，四边形EMFN面积取得最大值，为．
（3）（，-），（-，）．
（2）当k=±1时，四边形EMFN面积取得最大值，为
4
3
3
（3）（
6
3
6
3
6
3
6
3
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/7/4 8:0:9组卷：54引用：1难度：0.6
相似题
-
1．已知两个定点坐标分别是F1（-3，0），F2（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于2
．5
（1）求曲线C的方程；
（2）过F1（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面积．发布：2024/12/29 10:30:1组卷：101引用：1难度：0.9 -
2．点P在以F1，F2为焦点的双曲线
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
3．若过点（0，-1）的直线l与抛物线y2=2x有且只有一个交点，则这样的直线有（ ）条．
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：26引用：5难度：0.7
