已知在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，交x轴另一点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为第四象限内直线BC上一点，作DE⊥x轴于E，DP⊥y轴于P，连接OD，设D点的横坐标为t,△OPD的面积为S，请写出S与t的函数关系式．（不用写出自变量t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，过点C作CF⊥y轴交抛物线于点F，交DE的延长线于G，连接FB、PB，并延长PB交GE于Q，连接PF交BC于点M，连接QM，当FB⊥PB时，求直线QM的解析式．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）；
（2）S=；
（3）．
y
=
-
1
2
x
2
+
x
+
4
（2）S=
1
2
t
2
-
2
t
（3）
y
=
-
1
3
x
+
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：57引用：2难度：0.1
相似题
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1．如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2-bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；
①设点P为线段BD上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值；
②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 9:30:2组卷：191引用：2难度：0.1 -
2．如图，二次函数
与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A'的位置，线段A'C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．y=12x2+bx+c
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：△OCD∽△A'BD；
②求的最小值．DBBA发布：2025/5/24 9:30:2组卷：300引用：2难度：0.1 -
3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点
在抛物线上．D（-3，52）
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，点P在y轴上，且点P在点C的下方，若∠PDC=45°，求点P的坐标；
（3）如图②，E为线段CD上的动点，射线OE与线段AD交于点M，与抛物线交于点N，求的最大值．MNOM发布：2025/5/24 9:30:2组卷：1691引用：11难度：0.1
