已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y-2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A，B分别为椭圆C的左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，直线AM与椭圆交于点P（与A点不重合），以MP为直径的圆交线段BP于点N，求证：直线MN过定点．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
2
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）椭圆C方程为；
（2）证明：设M（2，t），则直线AM的方程为：
联立
，消去y得，
，则
故
又以MP为直径的圆上与线段BP交于点N，则MN⊥BP
故直线MN方程为，即，
直线MN过定点O（0，0）．
x
2
4
+
y
2
2
=
1
（2）证明：设M（2，t），则直线AM的方程为：
y
=
t
4
（
x
+
2
）
联立
y = t 4 （ x + 2 ） |
x 2 + 2 y 2 = 4 |
（
1
+
t
2
8
）
x
2
+
t
2
2
x
+
t
2
2
-
4
=
0
x
A
•
x
P
=
4
t
2
-
32
t
2
+
8
x
P
=
16
-
2
t
2
t
2
+
8
，
y
P
=
t
4
（
x
P
+
2
）
=
8
t
t
2
+
8
故
k
PB
=
y
P
x
P
-
2
=
8
t
t
2
+
8
16
-
2
t
2
t
2
+
8
-
2
=
-
2
t
又以MP为直径的圆上与线段BP交于点N，则MN⊥BP
故直线MN方程为
y
-
t
=
t
2
（
x
-
2
）
y
=
t
2
x
直线MN过定点O（0，0）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：77引用：4难度：0.3
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