如图，抛物线
y
1
=
a
（
x
-
m
）
2
与y₂关于y轴对称，顶点分别为B、A，y₁与y轴的交点为C．若由A，B，C组成的三角形中，tan∠ABC=2．求：
（1）a与m满足的关系式；
（2）如图，动点Q、M分别在y₁和y₂上，N、P在x轴上，构成矩形MNPQ，当a为1时，请问：
①Q点坐标是多少时，矩形MNPQ的周长最短？
②若E为MQ与y轴的交点，是否存在这样的矩形，使得△CEQ与△QPB相似？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见试题解答内容

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：105引用：3难度：0.3

相似题

1．已知二次函数y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1，其中a为正整数．
（1）若函数y的图象与x轴相交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）若a依次取1，2，…，2005时，函数y的图象与x轴相交所截得的2005条线段分别为A₁B₁，A₂ B₂，…，A₂₀₀₅ B₂₀₀₅，试求这2005条线段长之和．
发布：2025/5/28 8:0:1组卷：134引用：1难度：0.3
解析
2．已知二次函数y=ax²+4ax+4a-1的图象是C₁．
（1）求C₁关于点R（1，0）中心对称的图象C₂的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，设抛物线C₁、C₂与y轴的交点分别为A、B，当AB=18时，求a的值．
发布：2025/5/28 7:0:1组卷：311引用：6难度：0.1
解析

3．先阅读短文，再回答短文后面的问题．
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
下面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程．
如图，建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F且垂直于直线l,垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．设|KF|=p（p＞0），那么焦点F的坐标为（
p
2
，0），准线l的方程为x=-
p
2
．
设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d,由抛物线的定义，抛物线就是满足|MF|=d的点M的轨迹．
∵|MF|=
（
x
-
p
2
）
2
+
y
2
，d=|x+
p
2
|∴
（
x
-
p
2
）
2
+
y
2
=|x+
p
2
|
将上式两边平方并化简，得y²=2px（p＞0）①
方程①叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是（
p
2
，0），它的准线方程是x=-
p
2
．
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同．所以抛物线的标准方程还有其它的几种形式：y²=-2px,x²=2py,x²=-2py.这四种抛物线的标准方程，焦点坐标以及准线方程列表如下：

标准方程焦点坐标准线方程

y²=2px（p＞0）（
p
2
，
0
） x=-
p
2

y²=-2px（p＞0）（-
p
2
，
0
） x=
p
2

x²=2py（p＞0）（0，
p
2
） y=-
p
2

x²=-2py（p＞0）（0，-
p
2
） y=-
p
2

解答下列问题：
（1）①已知抛物线的标准方程是y²=8x,则它的焦点坐标是
，准线方程是

②已知抛物线的焦点坐标是F（0，-6），则它的标准方程是
．
（2）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程．
（3）直线
y
=
3
x
+
b
经过抛物线y²=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．

发布：2025/5/28 7:0:1组卷：267引用：1难度：0.3