已知P（x0，y0）是焦距为42的双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）上一点，过P的一条直线l1与双曲线C的两条渐近线分别交于P1（x1，y1），P2（x2，y2），且3OP=OP1+2OP2，过P作垂直的两条直线l2和l3，与y轴分别交于A，B两点，其中l2与x轴交点的横坐标是a2x0．
（1）求x1x2-y1y2的值；
（2）求S△OP1P2的最大值，并求此时双曲线C的方程；
（3）判断以AB为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由．
4
2
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
3
OP
=
O
P
1
+
2
O
P
2
a
2
x
0
S
△
O
P
1
P
2
【考点】双曲线与平面向量．
【答案】（1）9．
（2）-=1．
（3）（2，0）和（-2，0）．
（2）
x
2
4
y
2
4
（3）（2
2
2
【解答】
【点评】
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