已知圆O：x2+y2=4，点P为直线l：x=4上的动点．
（Ⅰ）若从P到圆O的切线长为23，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；
（Ⅱ）若点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）．
2
3
【考点】直线和圆的方程的应用．
【答案】（I）（4，0），．
（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（1，0），
依题意，直线PA经过点A（-2，0），P（4，t），
可以设，
和圆x2+y2=4联立，得到
，
代入消元得到，（t2+36）x2+4t2x+4t2-144=0，
因为直线AP经过点A（-2，0），M（x1，y1），所以-2，x1是方程的两个根，
所以有，，
代入直线方程得，．
同理，设，联立方程有
，
代入消元得到（4+t2）x2-4t2x+4t2-16=0，
因为直线BP经过点B（2，0），N（x2，y2），所以2，x2是方程的两个根，，，
代入得到．
若x1=1，则t2=12，此时
显然M，Q，N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q（1，0），
若x1≠1，则t2≠12，x2≠1，
所以有，，
所以kMQ=kNQ，所以M，N，Q三点共线，
即直线MN经过定点Q（1，0）．
综上所述，直线MN经过定点Q（1，0）．
4
π
3
（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（1，0），
依题意，直线PA经过点A（-2，0），P（4，t），
可以设
AP
：
y
=
t
6
（
x
+
2
）
和圆x2+y2=4联立，得到
y = t 6 （ x + 2 ） |
x 2 + y 2 = 4 |
代入消元得到，（t2+36）x2+4t2x+4t2-144=0，
因为直线AP经过点A（-2，0），M（x1，y1），所以-2，x1是方程的两个根，
所以有
-
2
x
1
=
4
t
2
-
144
t
2
+
36
x
1
=
72
-
2
t
2
t
2
+
36
代入直线方程
y
=
t
6
（
x
+
2
）
y
1
=
t
6
（
72
-
2
t
2
t
2
+
36
+
2
）
=
24
t
t
2
+
36
同理，设
BP
：
y
=
t
2
（
x
-
2
）
y = t 2 （ x - 2 ） |
x 2 + y 2 = 4 |
代入消元得到（4+t2）x2-4t2x+4t2-16=0，
因为直线BP经过点B（2，0），N（x2，y2），所以2，x2是方程的两个根，
2
x
2
=
4
t
2
-
16
t
2
+
4
x
2
=
2
t
2
-
8
t
2
+
4
代入
y
=
t
2
（
x
-
2
）
y
2
=
t
2
（
2
t
2
-
8
t
2
+
4
-
2
）
=
-
8
t
t
2
+
4
若x1=1，则t2=12，此时
x
2
=
2
t
2
-
8
t
2
+
4
=
1
显然M，Q，N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q（1，0），
若x1≠1，则t2≠12，x2≠1，
所以有
k
MQ
=
y
1
-
0
x
1
-
1
=
24
t
t
2
+
36
72
-
2
t
2
t
2
+
36
-
1
=
8
t
12
-
t
2
k
NQ
=
y
2
-
0
x
2
-
1
=
-
8
t
t
2
+
4
2
t
2
-
8
t
2
+
4
-
1
=
-
8
t
t
2
-
12
所以kMQ=kNQ，所以M，N，Q三点共线，
即直线MN经过定点Q（1，0）．
综上所述，直线MN经过定点Q（1，0）．
【解答】
【点评】
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