已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过A（-2，0）、B（1，32）两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若椭圆E的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线l与椭圆E交于M、N两点，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．
3
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（1）+=1；
（2）存在，设M（x1，y1）、N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，
设△F1MN的内切圆的半径为R，
则=（|MN|+|MF1|+|NF1|）R
=[（|MF1|+|MF2|）+（|NF1|+|NF2|）]R=4R
当最大时，R也最大，△F1MN的内切圆的面积也最大，
又=|F1F2||y1|+|F1F2||y2|，
|F1F2|=2c=2
∴=|y1|+|y2|=y1-y2，
由
，得（3m2+4）y2+6my-9=0，
则Δ=（6m）2+4×9（3m2+4）＞0恒成立，
y1+y2=，y1•y2=，
∴y1-y2=
=
=，
∴=，
设=t，则t≥1，且m2=t-1，
∴==，
∴函数f（t）在[1，+∞）上是单调减函数，
∴fmax（t）=f（1）=3，即的最大值是3
∴4R≤3，R≤，即R的最大值是，
∴△F1MN的内切圆的面积的最大值是，
此时，m=0，直线l的方程是x=1．
x
2
4
y
2
3
（2）存在，设M（x1，y1）、N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，
设△F1MN的内切圆的半径为R，
则
S
△
F
1
MN
1
2
=
1
2
当
S
△
F
1
MN
又
S
△
F
1
MN
1
2
1
2
|F1F2|=2c=2
∴
S
△
F
1
MN
由
x = my + 1 |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
则Δ=（6m）2+4×9（3m2+4）＞0恒成立，
y1+y2=
-
6
m
3
m
2
+
4
-
9
3
m
2
+
4
∴y1-y2=
（
y
1
+
y
2
）
2
-
4
y
1
y
2
=
（
-
6
m
3
m
2
+
4
）
2
-
4
×
-
9
3
m
2
+
4
=
12
m
2
+
1
3
m
2
+
4
∴
S
△
F
1
MN
12
m
2
+
1
3
m
2
+
4
设
m
2
+
1
∴
S
△
F
1
MN
12
t
3
（
t
-
1
）
2
+
4
12
t
3
t
2
+
1
∴函数f（t）在[1，+∞）上是单调减函数，
∴fmax（t）=f（1）=3，即
S
△
F
1
MN
∴4R≤3，R≤
3
4
3
4
∴△F1MN的内切圆的面积的最大值是
9
π
16
此时，m=0，直线l的方程是x=1．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：24引用：1难度：0.1
相似题
-
1．已知两个定点坐标分别是F1（-3，0），F2（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于2
．5
（1）求曲线C的方程；
（2）过F1（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面积．发布：2024/12/29 10:30:1组卷：101引用：1难度：0.9 -
2．点P在以F1，F2为焦点的双曲线
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
3．若过点（0，-1）的直线l与抛物线y2=2x有且只有一个交点，则这样的直线有（ ）条．
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：26引用：5难度：0.7
