已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，且过点（2，22）．
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
2
2
2
2
【考点】根据椭圆的几何特征求标准方程；直线与椭圆的综合．
【答案】（1）．
（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：
由
得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=…（•）
∵直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，
∴4k==，得2kx1x2=m（x1+x2），
将（•）代入得：m2=，
经检验满足Δ＞0．
x
2
4
+
y
2
=
1
（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：
由
y = kx + m |
x 2 4 + y 2 = 1 |
设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=
-
8
km
1
+
4
k
2
4
（
m
2
-
1
）
1
+
4
k
2
∵直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，
∴4k=
y
1
x
1
+
y
2
x
2
k
x
1
+
m
x
1
+
k
x
2
+
m
x
2
将（•）代入得：m2=
1
2
经检验满足Δ＞0．
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/3 8:0:9组卷：590引用：26难度：0.5
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