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已知椭圆C的两个顶点分别为A（-2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点P（x₀，y₀）是椭圆上一点，求以点P为切点的椭圆的切线方程；
（Ⅲ）设点Q是直线l：x=5上一动点，过点Q作椭圆C的两条切线QM，QN，切点分别为M，N，直线MN是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．

【考点】椭圆的切线方程及性质．

【答案】见试题解答内容

【解答】

【点评】

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发布：2024/11/7 8:0:2组卷：147引用：1难度：0.4

相似题

1．经研究发现，若点M（x₀，y₀）在椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
上，则过点M的椭圆切线方程为
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=
1
，现过点
P
（
t
,
0
）
（
|
t
|
＞
2
）
作椭圆
C
：
x
2
2
+
y
2
=
1
的切线，切点为Q，当△POQ（其中O为坐标原点）的面积为
1
2
时，t=
．
发布：2024/11/7 8:0:2组卷：58引用：1难度：0.5
解析
2．关于椭圆的切线有下列结论：若P（x₁，y₁）是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上的一点，则过点P的椭圆的切线方程为
x
1
x
a
2
+
y
1
y
b
2
=
1
．已知椭圆C：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
，过椭圆C外一点M（x₀，y₀）作椭圆的两条切线MA，MB（A，B为切点）．
（Ⅰ）利用上述结论，求直线AB的方程；
（Ⅱ）设椭圆的右焦点为F，求证：
|
MF
|
2
|
FA
|
|
FB
|
=
x
2
0
4
+
y
2
0
3
．
发布：2024/11/7 8:0:2组卷：251引用：1难度：0.3
解析
3．关于椭圆的切线有下列结论：若P（x₁，y₁）是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（a＞b＞0）上的一点，则过点P的椭圆的切线方程为
x
1
x
a
2
+
y
1
y
b
2
=
1
．已知椭圆C：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
，过椭圆C外一点M（x₀，y₀）作椭圆的两条切线MA，MB（A，B为切点）．
（Ⅰ）利用上述结论，求过椭圆C上的点P（1，n）（n＞0）的切线方程；
（Ⅱ）若M是直线x=4上的任一点，过M作椭圆C的两条切线MA，MB（A，B为切点），设椭圆的右焦点为F，求证：MF⊥AB．
发布：2024/11/7 8:0:2组卷：136引用：2难度：0.4
解析

1．经研究发现，若点M（x0，y0）在椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，则过点M的椭圆切线方程为x0xa2+y0yb2=1，现过点P（t,0）（|t|＞2）作椭圆C：x22+y2=1的切线，切点为Q，当△POQ（其中O为坐标原点）的面积为12时，t=．