学习《第九章乘法公式与因式分解》时，我们借助拼图验证了许多乘法公式，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解，这是研究数学问题的一种常用方法．如图（1），有足够多的边长为a的大正方形，长为a,宽为b的长方形和边长为b的小正方形．
（1）利用拼图将多项式2a2+5ab+2b2进行因式分解，画出你的拼图，并写出因式分解的结果；
2a2+5ab+2b2=（a+2b）（2a+b）（a+2b）（2a+b）．
（2）若多项式9a2+12ab+kb2（k为正整数）可以用拼图法因式分解，则k=44；
（3）如图（2），它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．如果每个直角三角形的较短的边长为a,较长的边长为b,最长的边长为c.你能发现直角三角形的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出解答过程）
【考点】因式分解的应用；完全平方公式的几何背景．
【答案】（a+2b）（2a+b）；4
【解答】
【点评】
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发布：2025/6/13 18:0:2组卷：279引用：2难度：0.5
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1．一个四位正整数m各个数位上的数字都不为0，四位数m前两位数字之和为6，后两位数字之和为8，称这样的四位数m为“福禄数”；把四位数m的前两位上的数字和后两位上的数字整体交换位置后得到新的四位数m'，称此时的m'是m的“生长数”，并规定
，例如m=5126，∵5+1=6，2+6=8，∴5126是“福禄数”，则它的“生长数”m'=2651，F（m）=m-m′99．F（m）=5126-265199=25
（1）判断2447是不是“福禄数”；
（2）写出最大的“福禄数”并求出此时F（m）的值；
（3）已知：S=120+c,t=2004+100a+10b（0≤a≤7，0≤b≤7，0≤c≤5，其中a,b,c均为整数），当s+t为“福禄数”时，求出所有s+t的值．发布：2025/6/14 4:0:2组卷：258引用：2难度：0.4 -
2．阅读下列材料，解决问题：
我们把一个能被17整除的自然数称为“节俭数”．“节俭数”的特征是：若把一个自然数的个位数字截去，再把剩下的数减去截去的那个个位数字的5倍，如果差是17的整数倍（包括0），则原数能被17整除，如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾，倍尾，差尾，验差”的过程，直到能方便判断为止．例如：判断1675282是不是“节俭数”，判断过程：167528-2×5=167518，16751-8×5=16711，1671-1×5=1666，166-6×5=136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续13-6×5=-17，-17是17的整数倍，所以1675282能被17整除，所以1675282是“节俭数”．
（1）请用上述方法判断7259和2098752是否是“节俭数”，并说明理由．
（2）一个五位节俭数，其中千位上的数字为b,万位上的数字为a,且b=a-1，请利用上面方法求出这个数．ab213发布：2025/6/14 9:0:1组卷：45引用：1难度：0.6 -
3．我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形；在代数中如a+b+c,abc,a2+b2，…，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我们称为对称式．含有两个字母a,b的对称式的基本对称式是a+b和ab,像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b和ab表示，例如：a2+b2=（a+b）2-2ab.请根据上述材料解决下列问题：
（1）式子①a2b-2，②a2-b2，③中，属于对称式的是 （填序号）．1a+1b
（2）已知（x+a）（x+b）=x2+mx+n.
①m=，n=（用含a,b的代数式表示）；
②若m=-2，n=3，求对称式的值；ba+ab
③若n=-1，请求出对称式的最小值．a4+1a2+b4+1b2发布：2025/6/14 1:30:1组卷：71引用：1难度：0.6
