在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-6，0），B（6，0），动点E（x,y）满足直线AE与BE的斜率之积为-13，记E的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过点D（2，0）的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x=3的垂线，垂足为G，过点O作OM⊥QG，垂足为M．证明：存在定点N，使得|MN|为定值．
A
（
-
6
，
0
）
B
（
6
，
0
）
-
1
3
【考点】轨迹方程．
【答案】（1），C是中心在原点，焦点在x轴上，不含左、右顶点的椭圆．；
（2）证明：由（1）知直线l与x轴不重合，可设l：x=my+2，
联立
，得（m2+3）y2+4my-2=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则，，Δ=24m2+24＞0，
所以．
因为G（3，y1），Q（my2+2，y2），所以直线QG的斜率为==2y1，
所以直线QG的方程为y-y1=2y1（x-3），即y=2y1（x-），所以直线QG过定点．
因为OM⊥QG，所以△OHM为直角三角形，
取OH的中点，则，即|MN|为定值．
综上，存在定点，使得|MN|为定值．
x
2
6
+
y
2
2
=
1
（
|
x
|
≠
6
）
（2）证明：由（1）知直线l与x轴不重合，可设l：x=my+2，
联立
x = my + 2 |
x 2 6 + y 2 2 = 1 |
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则
y
1
+
y
2
=
-
4
m
m
2
+
3
y
1
y
2
=
-
2
m
2
+
3
所以
m
=
1
2
（
1
y
1
+
1
y
2
）
因为G（3，y1），Q（my2+2，y2），所以直线QG的斜率为
y
2
-
y
1
m
y
2
-
1
y
2
-
y
1
1
2
（
1
y
1
+
1
y
2
）
y
2
-
1
所以直线QG的方程为y-y1=2y1（x-3），即y=2y1（x-
5
2
H
（
5
2
，
0
）
因为OM⊥QG，所以△OHM为直角三角形，
取OH的中点
N
（
5
4
，
0
）
|
MN
|
=
1
2
|
OH
|
=
5
4
综上，存在定点
N
（
5
4
，
0
）
【解答】
【点评】
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