【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a,宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是 a-ba-b；
（2）用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1：（a-b）2（a-b）2；
方法2：（a+b）2-4ab（a+b）2-4ab；
（3）观察图②，请你写出（a+b）2，（a-b）2，ab之间的等量关系 （a+b）2-4ab=（a-b）2（a+b）2-4ab=（a-b）2；
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若x+y=6，xy=114，则x-y=±5±5；
（5）【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
根据图③，写出一个代数恒等式：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；
（6）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求a3+b3的值．
xy
=
11
4
【考点】完全平方公式的几何背景；展开图折叠成几何体．
【答案】a-b；（a-b）2；（a+b）2-4ab；（a+b）2-4ab=（a-b）2；±5；（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：154引用：3难度：0.4
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1．如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均匀分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于 ；
（2）请你用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积，方法一：，方法二：；
（3）观察图②，你能写出代数式（m+n）2，（m-n）2，mn之间的关系吗？
（4）应用：已知m+n=11，mn=28（m＞n），求m,n的值．
发布：2025/6/8 11:0:1组卷：59引用：1难度：0.6 -
2．小明同学用4张长为x,宽为y的长方形，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠、没有空隙）．
（1）通过计算小正方形的面积，写出（x+y）2，y,（x-y）2三者的等量关系；
（2）利用（1）中的结论，试求：当x+y=6，xy=5，求图中小正方形的边长．发布：2025/6/8 9:30:1组卷：4引用：1难度：0.6 -
3．【知识生成】我们已经知道，多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．例如利用图1的面积可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）请你写出图2所表示的一个等式：．
（2）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z=．
【知识迁移】（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些等式，图4表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．发布：2025/6/8 10:30:2组卷：85引用：2难度：0.6
