如图1，设△ABC是一个锐角三角形，且AB≠AC，Γ为其外接圆，O、H分别为其外心和垂心，CD为圆Γ直径，M为线段BC上一动点且满足AH=2OM．
（1）证明：M为BC中点；
（2）过O作BC的平行线交AB于点E，若F为AH的中点，证明：EF⊥FC；
（3）直线AM与圆Γ的另一交点为N（如图2），以AM为直径的圆与圆Γ的另一交点为P．证明：若AP、BC、OH三线共点，则AH=HN；反之也成立．
【考点】圆的综合题．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：192引用：3难度：0.3
相似题
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1．【证明体验】
（1）如图1，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB=AC，在上取一点P，连结AP，BP，CP．求证：∠APB=∠PAC+∠PCA；ˆAC
【思考探究】
（2）如图2，在（1）条件下，若点P为的中点，AB=6，PB=5，求PA的值；ˆAC
【拓展延伸】
（3）如图3，⊙O的半径为5，弦BC=6，弦CP=5，延长AP交BC的延长线于点E，且∠ABP=∠E，求AP•PE的值．
发布：2025/5/26 8:0:5组卷：1611引用：2难度：0.3 -
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E．
（1）求证，直线DE是⊙O的切线；
（2）尺规作图：过点B作直线DE的垂线，垂足为点F，（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）若⊙O的半径为5，AD=8，求BF的长．发布：2025/5/26 8:0:5组卷：150引用：1难度：0.3 -
3．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．
（1）如图①，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI；
（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；
（3）如图③，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：FG=HG．
发布：2025/5/26 8:0:5组卷：2247引用：1难度：0.1
