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如图1，已知点P为抛物线y=
1
2
x
2
（x＞0）上一动点，以P为顶点，且经过原点O的抛物线，记作“y_P”，设其与x轴另一交点为A，点P的横坐标为m.

（1）①当△OPA为直角三角形时，m=
2
2
；
②当△OPA为等边三角形时，求此时“y_P”的解析式；
（2）如图2，若P点的横坐标分别为1，2，3，…n（n为正整数）时，抛物线“y_P”分别记作“
y
P
1
”、“
y
P
2
”，…“
y
P
n
”，设其与x轴另外一交点分别为A₁，A₂，A₃，…A_n，过P₁，P₂，P₃，…P_n作x轴的垂线，垂足分别为H₁，H₂，H₃，…H_n．
①P_n的坐标为
（
n
,
1
2
n
2
）
（
n
,
1
2
n
2
）
；OA_n=
2n,
2n,
；（用含n的代数式来表示）
②当P_nH_n-OA_n=48时，求n的值．
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的A_n，使得∠OP₆A_n=90°，若存在，求n的值；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【答案】2；

（

，

）

；2n，

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：67引用：1难度：0.1

相似题

1．如图，抛物线y=-
1
2
x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA+45°时，求点P的坐标．
发布：2025/6/7 20:0:2组卷：80引用：1难度：0.2
解析
2．在平面直角坐标系xOy中，一次函数
y
=
-
3
4
x
+
m
的图象经过点B（4，0），交y轴于点A，二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A，且对称轴为直线x=-1．

（1）请求出m,b,c的值；
（2）点C为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点P，使得以点P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标，不必说明理由；若不存在，请说明理由；
（3）将直线AB向下平移a个单位，使得直线AB与抛物线有且只有一个交点，求a的值；
（4）点D在y轴上，且位于点A下方，点M在二次函数的图象上，点N在一次函数的图象上，使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标．
发布：2025/6/8 1:0:1组卷：104引用：2难度：0.1
解析
3．如图①，定义：直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x,y轴分别相交于A，B两点．将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫作直线l的“纠缠抛物线”，反之，直线l叫做抛物线P的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”．
（1）已知直线l：y=-2x+2，则它的纠缠抛物线P的函数解析式是
．
（2）判断y=-2x+2k与
y
=
-
1
k
x
2
-
x
+
2
k
是否“互为纠缠线”并说明理由．
（3）如图②，已知直线l：y=-2x+4，它的纠缠抛物线P的对称轴与CD相交于点E．点F在直线l上．点Q在抛物线P的对称轴上，当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，直接写出点Q的坐标．
发布：2025/6/7 21:0:1组卷：47引用：1难度：0.3
解析

1．如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA+45°时，求点P的坐标．

1．如图，抛物线y=-
1
2
x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA+45°时，求点P的坐标．