已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），左焦点F（-3，0），且离心率e=32
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
F
（
-
3
，
0
）
e
=
3
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【答案】（Ⅰ）．
（II）证明：设M（x1，y1） N（x2，y2），
右顶点A（2，0）
，
∵以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A，
∴（2-x2）（2-x1）+y1y2=0，
∵y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
∴4+（km-2）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+m2=0 ①
把y=kx+m代入椭圆方程，
得+（kx+m）2=1，
整理，得（+k2）x2+2kmx+m2-1=0，
所以x1x2=，x1+x2=- ，②
把②入①，得
4+（km-2）•（- ）+（1+k2）•+m2
=（5m2+16km+12k2）÷（1+4k2）
=（m+2k）（5m+6k）÷（1+4k2）
=0
所以m+2k=0 或者 m+k=0
当m+2k=0时，直线y=kx-2k恒过点（2，0）和A点重合显然不符合
当m+k=0时 直线恒过点（，0）符合题意
所以该定点坐标就是（，0）．
x
2
4
+
y
2
=
1
（II）证明：设M（x1，y1） N（x2，y2），
右顶点A（2，0）
AM
=
（
2
-
x
1
，
y
1
）
，
AN
=
（
2
-
x
2
，
y
2
）
∵以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A，
∴（2-x2）（2-x1）+y1y2=0，
∵y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
∴4+（km-2）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+m2=0 ①
把y=kx+m代入椭圆方程
x
2
4
+
y
2
=
1
得
x
2
4
整理，得（
1
4
所以x1x2=
m
2
-
1
1
4
+
k
2
2
km
1
4
+
k
2
把②入①，得
4+（km-2）•（-
2
km
1
4
+
k
2
m
2
-
1
1
4
+
k
2
=（5m2+16km+12k2）÷（1+4k2）
=（m+2k）（5m+6k）÷（1+4k2）
=0
所以m+2k=0 或者 m+
6
5
当m+2k=0时，直线y=kx-2k恒过点（2，0）和A点重合显然不符合
当m+
6
5
6
5
所以该定点坐标就是（
6
5
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：152引用：6难度：0.1
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