已知函数f（x）=ex-1g（x）-lnx.
（1）若函数g（x）=（12x2+ax+alnx）e1-x，讨论f（x）的单调性；
（2）从下面①②两个问题中任意选择一个证明，若两个都证明，则按第一个证明计分．
①若函数g（x）=（x+1）e1-xlnx,f（m）=f（n），且m≠n,证明：m+n＜1；
②若函数g（x）=12x2e1-x（x2-xlnx+1x），证明：f（x）＞1+ln22．
g
（
x
）
=
（
1
2
x
2
+
ax
+
alnx
）
e
1
-
x
g
（
x
）
=
1
2
x
2
e
1
-
x
（
x
2
-
xlnx
+
1
x
）
f
（
x
）
＞
1
+
ln
2
2
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．
【答案】（1）当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当a＜1时，f（x）在（0，1-a）单调递减，在（1-a，+∞）单调递增．
（2）①证明见解答；
②证明见解答．
当a＜1时，f（x）在（0，1-a）单调递减，在（1-a，+∞）单调递增．
（2）①证明见解答；
②证明见解答．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：132引用：2难度：0.2
相似题
-
1．已知函数f（x）=x3-2kx2+x-3在R上不单调，则k的取值范围是 ；
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：237引用：3难度：0.8 -
2．在R上可导的函数f（x）的图象如图示，f′（x）为函数f（x）的导数，则关于x的不等式x•f′（x）＜0的解集为（ ）发布：2024/12/29 13:0:1组卷：265引用：7难度：0.9 -
3．已知函数f（x）=ax2+x-xlnx（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1≠x2），证明：．x1•x2＞e2发布：2024/12/29 13:30:1组卷：144引用：2难度：0.2
