小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC=6，AD=4，求正方形PQMN的边长．
（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC内，连接BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．
（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．
（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE=NM，连接EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM=34时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
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【考点】四边形综合题．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：1897引用：9难度：0.1
相似题
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1．[问题提出]
正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径R和中心角有什么关系？
[问题探究]
如图①，△ABC是等边三角形，半径OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC内任意一点，P到△ABC各边距离PF、PE、PD分别为h1、h2、h3，设△ABC的边长是a,面积为S．过点O作OM⊥AB．
∴OM=Rcos∠AOB=Rcos60°，AM=Rsin12∠AOB=Rsin60°，AB=2AM=2Rsin60°12
∴S△ABC=3S△AOB=3×AB×OM=3R2sin60°cos60°①12
∵S△ABC又可以表示为a（h1+h2+h3）②12
联立①②得a（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°12
∴×2Rsin60°（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°12
∴h1+h2+h3=3Rcos60°
[问题解决]
如图②，五边形ABCDE是正五边形，半径OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC内任意一点，P到△ABC各边距PH、PM、PN、PI、PL分别为h1、h2、h3、h4、h5，参照（1）的分析过程，探究h1+h2+h3+h4+h5的值与正五边形ABCDE的半径R及中心角的关系．
[性质应用]
（1）正六边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6=．
（2）如图③，正n边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+hn-1+hn=．发布：2025/5/24 8:0:1组卷：149引用：1难度：0.2 -
2．在五边形ABCDE中，四边形ABCD是矩形，△ADE是以E为直角顶点的等腰直角三角形．CE与AD交于点G，将直线EC绕点E顺时针旋转45°交AD于点F．
（1）求证：∠AEF=∠DCE；
（2）判断线段AB，AF，FC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若FG=CG，且AB=2，求线段BC的长．发布：2025/5/24 8:0:1组卷：328引用：2难度：0.2 -
3．四边形ABCD为正方形，AB=8，点E为直线BC上一点，射线AE交对角线BD于点F，交直线CD于点G．
（1）如图，点E在BC延长线上．求证：△CFG∽△EFC；
（2）是否存在点E，使得△CFG是等腰三角形？若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/24 7:0:1组卷：57引用：1难度：0.1
