综合与探究
如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A，B（4，0）两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C（0，4），直线BC经过B，C两点，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设点P的横坐标为n,四边形OBPC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，在PC的垂直平分线上是否存在一点M，使△BPM是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）；
（2）S最大=12，点P的坐标为（2，4）；
（3）存在，点M的坐标为（1，1）或或或或．
y
=
-
1
2
x
2
+
x
+
4
（2）S最大=12，点P的坐标为（2，4）；
（3）存在，点M的坐标为（1，1）或
（
1
，
4
+
19
）
（
1
，
4
-
19
）
（
1
，
11
）
（
1
，-
11
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：252引用：4难度：0.1
相似题
-
1．在平面直角坐标系中，
函数y=的图象记为G．-12x2+12x+m（x＜m）x2-mx+m（x≥m）
（1）当m=2时，
①已知M（3，n）在该函数图象上，求n的值．
②当0≤x≤2时，图象G上到x轴的距离为2个单位长度的点的坐标为 ．
（2）当m＞0时，设直线x=m与x轴交于点P，与图象G交于点Q，若∠POQ=45°时，求m的值．12
（3）当m≤3时，设图象G与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC⊥BA交直线x=m于点C．设点A的横坐标为a,点C的纵坐标为c,若a=-3c,直接写出m的值．发布：2025/6/20 1:30:2组卷：112引用：1难度：0.3 -
2．如图，已知点A（-1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上求一点M，使得BM-CM最大．发布：2025/6/20 1:30:2组卷：326引用：3难度：0.1 -
3．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y=ax2-4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y=1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；
（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．发布：2025/6/20 2:30:1组卷：907引用：3难度：0.1
