如图，已知矩形ABCD中，E是边AD上一点，将△BDE沿BE折叠得到△BFE，连接DF．
（1）如图1，BF落在直线BA上时，求证△DFA∽△BEA；
（2）如图2，当ADAB=2时，BF与边AD相交时，在BE上取一点G，使∠BAG=∠DAF，AG与BF交于点H，
①求AFAG的值；
②当E是AD的中点时，若FD•FH=18，求AG的长．
AD
AB
=
2
AF
AG
【考点】相似形综合题．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）①；②．
（2）①
2
6
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/31 11:0:1组卷：633引用：3难度：0.1
相似题
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1．小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，且．若BC=6，AD=4，则正方形PQMN的边长等于 ；PNBC+MNAD=1
（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN；
（3）推理：如图3，若点E是BN的中点，求证：EP=EQ；
（4）拓展：在（2）的条件下，射线BN上截取NE=NM，连结EQ，EM（如图4）．当∠NBM=30°时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．发布：2025/6/7 9:0:2组卷：103引用：3难度：0.3 -
2．问题背景：如图（1），在矩形ABCD中，过C作CE⊥BD于F，交AD于E，图中与△ABD相似的三角形有多个，试写出其中一个三角形并证明．
尝试运用：如图（2），在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，过点E作EF⊥CD交CD的延长线于点F，交AD于点G，求证：EG•AB=CD•AG．
拓展创新：如图（3），在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，BA=BC=1，DA=DC=3，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF．若DE⊥CF，求的值．DECF
发布：2025/6/9 8:30:2组卷：808引用：2难度：0.1 -
3．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm,AC=6cm,点P由A点出发以1cm/s的速度向终点C匀速移动，同时点Q由点C出发以2cm/s的速度向终点B匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
（1）填空：在 秒时，△PCQ的面积为△ACB的面积的；38
（2）经过几秒，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACB相似？
（3）如图②，D为AB上一点，且AD=AC，运动时间t为多少时，CD⊥PQ？发布：2025/6/9 4:30:2组卷：133引用：2难度：0.3
