[发现]如图1，有一张三角形纸片ABC，小宏做如下操作：
①取AB、AC的中点D、E，在边BC上作MN=DE．
②连接EM，过点D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分别为G、H．
③将四边形BDGM剪下，绕点D旋转180°至四边形ADPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点E旋转180°至四边形AEST的位置．
④延长PQ、ST交于点F．
小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：
①点Q、A、T在一条直线上；
②四边形FPGS是矩形；
③△FQT≌△HMN；
④四边形FPGS与△ABC的面积相等．
[任务1]请你对结论①进行证明．
[任务2]如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，P、Q分别是AB、CD的中点，连接PQ．求证：PQ=12（AD+BC）．
[任务3]如图3，有一张四边形纸片ABCD，AD∥BC，AD=2，BC=8，CD=9，sin∠DCB=45，小丽分别取AB、CD的中点P、Q，在边BC上作MN=PQ，连接MQ，她仿照小宏的操作，将四边形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的长．
1
2
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【考点】四边形综合题．
【答案】[任务1]见解析；
[任务2]见解析；
[任务3]．
[任务2]见解析；
[任务3]
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【解答】
【点评】
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发布：2024/7/25 8:0:9组卷：1281引用：4难度：0.2
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1．“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠．
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问题提出：
（1）若点Q落在EF上，CD=2，连接BQ．
①△CQB是 三角形；
②若△CQB是等边三角形，则AD的长为 ．
深入探究：
（2）在（1）的条件下，当AD=2时，判断△CQB的形状并证明；2
拓展延伸；
（3）若AB=6，AD=8，其他条件不变，当点Q落在矩形ABFE内部（包括边）时，连接AQ，直接写出AQ的取值范围．发布：2025/5/22 16:30:1组卷：236引用：2难度：0.3 -
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（2）探究：
①如图①，当点M在EF上时，∠EMB=°．
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3．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，作PM⊥AD交直线AB于点M，交直线BC于点F，设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积 为s（平方单位），点P运动时间为t（秒）．
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（2）求整个运动过程中s的最大值；
（3）以线段PQ为边，在PQ右侧作等边△PQE，当2≤t≤4时，求点E运动路径的长．发布：2025/5/22 17:0:1组卷：407引用：5难度：0.3
