已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为2+1．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C（m,0）是线段OF上一个动点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|AC|=|BC|，并说明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
2
2
2
+
1
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【答案】（I）；
（Ⅱ）当时，，即存在这样的直线l；当，k不存在，即不存在这样的直线l．理由如下：
由（1）得F（1，0），所以0≤m＜1，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），
代入，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则， ①，
y1+y2=k（x1+x2-2）=
设AB的中点为M，则M（），
∵|AC|=|BC|
∴CM⊥AB即kCM•kAB=-1
∴
∴（1-2m）k2=m
∴当时，，即存在这样的直线l
当，k不存在，即不存在这样的直线l．
x
2
2
+
y
2
=
1
（Ⅱ）当
0
≤
m
＜
1
2
k
=±
m
1
-
2
m
1
2
≤
m
≤
1
由（1）得F（1，0），所以0≤m＜1，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），
代入
x
2
2
+
y
2
=
1
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
x
1
+
x
2
=
4
k
2
1
+
2
k
2
x
1
x
2
=
2
k
2
-
2
2
k
2
+
1
y1+y2=k（x1+x2-2）=
-
2
k
2
k
2
+
1
设AB的中点为M，则M（
2
k
2
2
k
2
+
1
，
-
k
2
k
2
+
1
∵|AC|=|BC|
∴CM⊥AB即kCM•kAB=-1
∴
4
k
2
1
+
2
k
2
-
2
m
+
-
2
k
2
k
2
+
1
•
k
=
0
∴（1-2m）k2=m
∴当
0
≤
m
＜
1
2
k
=±
m
1
-
2
m
当
1
2
≤
m
≤
1
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：84引用：10难度：0.5
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（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
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