如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A（-4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，在x轴上有一动点D，平面内是否存在一点E，使以点A、D、C、E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点M为抛物线上的一动点：
①若点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；
②若点M为抛物线上的任意一动点，且∠ACM=45°-∠BAC，请直接写出满足条件的点M的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）．
（2）存在，E1（0，-2），，，．
（3）①．
②M1（-5，-3），．
y
=
-
1
2
x
2
-
3
2
x
+
2
（2）存在，E1（0，-2），
E
2
（
2
5
，
2
）
E
3
（
-
2
5
，
2
）
E
4
（
-
5
2
，
2
）
（3）①
6
+
2
5
②M1（-5，-3），
M
2
（
-
23
7
，
75
49
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/11 8:0:9组卷：383引用：3难度：0.1
相似题
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1．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，32）三点．32
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．发布：2025/6/16 15:30:1组卷：1330引用：4难度：0.5 -
2．如图，二次函数y=ax2-6ax-16a（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴，且OD=AB．
（1）求点A，B的坐标及a的值；
（2）点P为y轴右侧抛物线上一点．
①如图①，若OP平分∠COD，OP交CD于点E，求点P的坐标；
②如图②，抛物线上一点F的横坐标为2，直线CF交x轴于点G，过点P作直线CF的垂线，垂足为Q，若∠PCQ=∠BGC，求点Q的坐标．
发布：2025/6/16 7:30:1组卷：1429引用：4难度：0.1 -
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A（-5，0），B（-4，-3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接BD，CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）若点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/16 5:30:3组卷：1379引用：2难度：0.1
