设抛物线Γ：y2=2px（p＞0），D（x0，y0）满足y20＞2px0，过点D作抛物线Γ的切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2．y2）．
（1）求证：直线yy1=p（x+x1）与抛物线Γ相切：
（2）若点A坐标为（4，4），点D在抛物线Γ的准线上，求点B的坐标：
（3）设点D在直线x+p=0上运动，直线AB是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标：若不存在，请说明理由．
y
2
0
【考点】直线与抛物线的综合．
【答案】（1）证明：方法一：抛物线Γ：y2=2px（p＞0），求导，2yy′=2p，即，
所以在A（x1，y1）点的切线的斜率=，
所以切线方程为，由=2px1，整理得yy1=p（x+x1），
所以直线yy1=p（x+x1）与抛物线Γ相切；
方法二：由题意可知，
，消去x，整理得y2-2y1y+2px1=0，
则，
所以直线yy1=p（x+x1）与抛物线Γ相切；
（2）B（，-1）；
（3）直线AB恒过定点（p，0）．
y
1
=
p
y
所以在A（x1，y1）点的切线的斜率
k
=
y
′
|
y
=
y
1
p
y
1
所以切线方程为
y
-
y
1
=
p
y
1
（
x
-
x
1
）
y
2
1
所以直线yy1=p（x+x1）与抛物线Γ相切；
方法二：由题意可知，
y y 1 = p （ x + x 1 ） |
y 2 = 2 px |
则
Δ
=
（
2
y
1
）
2
-
4
×
2
p
x
1
=
4
y
2
1
-
8
p
x
1
=
0
所以直线yy1=p（x+x1）与抛物线Γ相切；
（2）B（
1
4
（3）直线AB恒过定点（p，0）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：119引用：2难度：0.4
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