对于一个三位正整数t,将各位数上的数字机重新排序后，得到一个新的三位数abc（a≤c），在所有重新排列的三位数中（包括本身）．当|a+c-2b|最小时，称此时的abc为t的“最优组合”，并规定F（t）=|a-b|-|b-c|，例如：124重新排序后为142、214，因为|1+4-4|=1，|1+2-8|=5，|2+4-2|=4．所以124 为124 的“最优组合”，此时F（124）=-1．
（1）三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：F（t）=0；
（2）一个正整数由N个数字组成，若从左向右它的第1位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，它的前三位数被3整除，…，一直到前N位数能被N整除，我们称这样的数为“和善数”．例如，168的第1位数1能被1整除，它的前两位数16能被2整除，前三位数能被3整除，则168是一个“和善数”．若一个三位“和善数”m=200+20x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y为整数），m的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“和善数”中F（m）的最大值．
abc
abc
【考点】数的整除性．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）3．
（2）3．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：215引用：1难度：0.3
相似题
-
1．学习完《三角形》章节，某数学小组小花同学给出如下定义：对任意的一个三位数n,如果n满足各个数位上的数字均不为零，且该数任意两个数位上的数字之和大于余下数位上的数字，那么我们就把该数称为“稳定数”．把“稳定数”n的十位数字作个位，百位数字作十位得到的两位数，再加上n的个位数字的和记作F（n），把“稳定数”n的十位数字作十位，百位数字作个位得到的两位数，再加上n的个位数字的和记作Q（n）．
例如：675，是一个“稳定数”，由定义得F（675）=67+5=72，Q（675）=76+5=81．若一个“稳定数”s=100a+101b+30（1≤a≤5，1≤b≤4，a,b为整数），当5F（s）+2Q（s）能被11整除时，则满足条件的“稳定数”s的值为 ．发布：2025/6/3 21:30:1组卷：393引用：3难度：0.4 -
2．若一个两位自然数m=
（x,y为整数，且1≤x≤9，1≤y≤9），将十位数字的平方、十位数字，个位数字与十位数字的乘积从左到右依次组成一个新数n,称n为m的“新鲜数”．例如：m=35，其十位上数字的平方及十位数字与两个数位上数字的乘积分别为：9、3、15，则35的“新鲜数”为9315．xy
（1）46的“新鲜数”为 ，m的“新鲜数”为9324，则m=；
（2）设（1≤a≤3，且a为整数），记它的“新鲜数”为q,在q的十位和个位之间插入一个数字b（0≤b≤9），得到一个新数t,若t恰好被4整除，求符合条件的所有t值．p=3a发布：2025/6/13 1:0:1组卷：250引用：5难度：0.3 -
3．设n为整数，试说明（2n+1）2-25能被4整除．
发布：2025/6/11 15:30:1组卷：349引用：5难度：0.5
