已知函数f（x）=lnx+a2x2，g（x）=（a+1）x.
（1）若a=-1，求f（x）的最大值；
（2）若函数h（x）=f（x）-g（x），讨论h（x）的单调性；
（3）若函数m（x）=f（x）-g（x）+x有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：m（x1）-m（x2）＜a2-lna.
a
2
x
2
a
2
【考点】利用导数求解函数的最值．
【答案】（1）f（1）=-；
（2）当a≤0时，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当0＜a＜1时，h（x）在（0，1）与（，+∞）上单调递增，在（1，）单调递减，
当a=1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞1时，h（x）在（0，），（1，+∞）单调递增，在（，1）单调递减；
（3）详见证明过程．
1
2
（2）当a≤0时，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当0＜a＜1时，h（x）在（0，1）与（
1
a
1
a
当a=1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞1时，h（x）在（0，
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a
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a
（3）详见证明过程．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：568引用：3难度：0.1
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