如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A，B（-4，0）两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接BC，点P为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）的一动点，过点P作PF∥y轴交x轴于点F，交BC于点E，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，求5PD+2PF的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线绕线段BC的中点Q旋转180°得到新抛物线y'，点N为新抛物线y'上一点，在x轴上是否存在一点M，使得以点Q、C、M、N为顶点的四边形是以CQ为边的平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
1
2
x
2
5
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的表达式为y=-x2-x+2；
（2）PD+2PF的最大值是，此时点P的坐标为（-，）；
（3）在x轴上存在一点M，使得以点Q、C、M、N为顶点的四边形是以CQ为边的平行四边形，M的坐标为（，0）或（，0）或（0，0）或（-1，0）．
1
2
3
2
（2）
5
81
8
7
4
99
32
（3）在x轴上存在一点M，使得以点Q、C、M、N为顶点的四边形是以CQ为边的平行四边形，M的坐标为（
-
9
+
17
2
-
9
-
17
2
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：410引用：1难度：0.1
相似题
-
1．边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为 ．发布：2025/6/14 23:30:1组卷：2329引用：24难度：0.7 -
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x与x轴正半轴交于点A，点B在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且在对称轴右侧，点C是平面内一点，四边形OBCD是平行四边形．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若点B的纵坐标是-3，点D的横坐标是，则S▱OBCD=；52
（3）若点C在抛物线上，且▱OBCD的面积是12，请直接写出点C的坐标．发布：2025/6/14 21:0:1组卷：840引用：3难度：0.3 -
3．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．发布：2025/6/14 23:30:1组卷：4755引用：21难度：0.1
