已知椭圆方程x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A（m,0）为椭圆外一定点，过A作直线l交椭圆于P、Q两点，且有|AP|=λ|AQ|，Q关于x轴的对称点为B，x轴上一点C，当l变化时，证明：点C在BP上的充要条件是C的坐标为（a2m，0）．
x
2
a
2
y
2
b
2
|
AP
|
|
AQ
|
a
2
m
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的几何特征．
【答案】连接AB，
∵B、Q关于x轴对称，
∴=，
又==λ，依题意与同向，与同向，
∴=λ，=λ．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），C（x0，0），则B（x2，-y2），
可得y1=λy2，x1-m=λ（x2-m）①，
x0-x1=λ（x2-x0）②，
又+=1，+=1，
∴=λ2-1③，
将①②代入③中得x0=，
∴点C的坐标为（，0），
由于上述解题过程可逆，∴C在BP上的充要条件是C的坐标为（，0）．
∵B、Q关于x轴对称，
∴
|
AQ
|
|
AB
|
又
|
AP
|
|
AB
|
|
PC
|
|
CB
|
AP
AQ
PC
CB
∴
AP
AQ
PC
CB
设P（x1，y1），Q（x2，y2），C（x0，0），则B（x2，-y2），
可得y1=λy2，x1-m=λ（x2-m）①，
x0-x1=λ（x2-x0）②，
又
x
2
1
a
2
y
2
1
b
2
x
2
2
a
2
y
2
2
b
2
∴
（
x
1
+
λ
x
2
）
（
λ
x
2
-
x
1
）
a
2
将①②代入③中得x0=
a
2
m
∴点C的坐标为（
a
2
m
由于上述解题过程可逆，∴C在BP上的充要条件是C的坐标为（
a
2
m
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：20引用：2难度：0.1
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