【背景】数学课上，老师给出一个问题背景让同学们探究结论：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点，点E为射线AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF．
【探究】（1）小明先画出当点E与点D重合时的图形（如图2），并探究出此时AF与DC之间的数量关系，下面是小明的部分分析过程，请将其补充完整．
| 结论：AF与CD的数量关系为 AF=CD AF=CD 方法分析：过点C作AC的垂线交AD延长线于点G，如图2． 由条件：“线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF” 可知CE=CF，DCF=90°； 又根据∠FCA+∠ACD=90°，∠GCE+∠ACD=90° 可得∠FCA=∠GCE（理论依据是 同角的余角相等 同角的余角相等 ）；通过证明易得AC=CG， 从而证得△AFC≌△GEC …… |
【应用】（3）在【背景】下，老师提出这样一个问题：若
AC
=
3
2
【考点】几何变换综合题．
【答案】AF=CD；同角的余角相等
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：165引用：1难度：0.2
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1．如图（1），在矩形ABCD中，AB=6，BC=2
，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，如图（2）以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t＞0）．3
（1）如图（3），当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）如图（4），当等边△EFG的顶点G恰好落在CD边上时，求运动时间t的值；
（3）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量，的取值范围．
发布：2025/1/13 8:0:2组卷：359引用：2难度：0.5 -
2．如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，且DE=DA．
（1）求证：∠BAD=∠EDC；
（2）点E关于直线BC的对称点为M，联结DM，AM．
①根据题意将图补全；
②在点D运动的过程中，DA和AM有什么数量关系并证明．发布：2024/12/23 14:0:1组卷：279引用：2难度：0.2 -
3．如图，在菱形ABCD中，AB=10cm,对角线BD=12cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB匀速运动；动点Q同时从点D出发，以2cm/s的速度沿BD的延长线方向匀速运动．当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t≤10），过点P作PE∥BD，交AD于点E，以DQ、DE为边作▱DQFE，连接PD，PQ．
（1）当t为何值时，点P在以BQ为直径的圆上？
（2）设四边形BPFQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t,使四边形BPFQ的面积与菱形ABCD面积之比为25：32？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t,使点P在∠BQF的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．发布：2025/1/28 8:0:2组卷：30引用：0难度：0.2
