已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，连接CD，∠B=2∠ACD．
（1）如图1，求证：BC=BD；
（2）如图2，点E、点F分别在AC、BC上，CE=CF，连接DE、DF，∠EDF=90°，求∠CDF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，当∠CEB=∠CFD，BF=65，求AD的长．
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【考点】三角形综合题．
【答案】（1）证明见解析；
（2）45°；
（3）3．
（2）45°；
（3）3
5
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：98引用：1难度：0.2
相似题
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1．[观察发现]
①如图1，△ABC中，AB=7，AC=5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明的解法如下：延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，易证△ABD≌△ECD（SAS）可得AB=CE，在△AEC中根据三角形三边关系可得2＜AE＜12，又∵AE=2AD，∴1＜AD＜6．
②如图2，在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C；若∠B=∠C，则AB=AC．
[应用拓展]
如图3，∠BCA=60°，∠AED=120°，CB=CA，EA=ED，连接CD，F为CD的中点，连接FB、FE．求证：BF⊥EF．
发布：2025/6/9 2:30:1组卷：109引用：2难度：0.3 -
2．下面是成成同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务
任务：10月20日星期四晴
今天上午第二节数学课，我们小组对“测量池塘两岸A，B两棵树之间的距离”进行了讨论．
我发现，测量的方法特别多，现举几例，赏析如下．
明明的方法：如图（1），在过点B且与AB垂直的直线l上确定一点D，使从点D可直接到达点A，连接AD，在AB的延长线上确定一点C，使CD=AD，测出BC的长，则AB=BC．
明明的理由：∵AD=CD，DB⊥AC，∴AB=BC．（依据1）
华华的方法：如图（2），在地面上选取一个可以直接到达点A，B的点C，连接AC，BC，在AC，BC上分别取点D，E，使AD=CD，BE=CE，连接DE，测出DE的长，则AB=2DE
华华的理由：∵AD=CD，BE=CE，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE．（依据2）
亮亮的方法：如图（3），在BA的延长线上取一点C，在过点C且与AB垂直的直线a上确定一点D，使从点D可直接到达点B，在过点A且与AB垂直的直线b上确定一点E，使点B，E，D在同一条直线上，测出AC，AE，CD的长，即可求出AB的长．
我的方法：可以在点A的这一边再选定点C，使AC⊥AB，然后，再选定点E，使EC⊥AC，用视线确定AC和BE的交点D．此时如果测得AD、DC、EC的长，就可求出A，B两棵树之间距离．
我感悟：知识之间是相互联系的，同一问题可以用不同的方法来解决．我要会用“数学的眼光观察现实世界，数学的思维思考现实世界，数学的语言表达现实世界，”
（1）填空：依据1指的是 ；
依据2指的是
（2）若按照亮亮的方法测出AC=10cm,AE=40m,CD=60m,请你求出A，B两棵树之间的距离．
（3）请你在图（4）中，先画出成成同学方法的示意图，再说明理由．
发布：2025/6/9 3:30:1组卷：69引用：1难度：0.2 -
3．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是 °．
（2）连接MB，若AB=8cm,△MBC的周长是14cm.
①求BC的长；
②点Q是线段BC上的动点，在直线MN上是否存在点P，使由BP+PQ最小？若存在，求BP+PQ的最小值；若不存在，说明理由．发布：2025/6/9 2:30:1组卷：27引用：1难度：0.3
