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已知直线x+y+2=0与圆心为坐标原点的圆O相切．
（1）求圆O的方程；
（2）过点P（2，2）的直线与圆O交于A，B两点，若弦长|AB|=2305，求直线AB的斜率的值；
（3）过点Q（1，1）作两条相异直线分别与圆O相交于M，N，且直线QM和直线QN的倾斜角互补，试着判断向量OQ和MN是否共线？请说明理由．
2
30
5
OQ
MN
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】（1）x2+y2=2；
（2）k=2或k=；
（3）共线，理由如下：
由题意知，直线QM和直线QN的斜率存在，且互为相反数，
故可设QM：y-1=k1（x-1），则QN：y-1=-k1（x-1），
由
，得（1+）x2+2k1（1-k1）x+（1-k1）2-2=0．
∵点Q的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得．
同理可得，
∴kMN====1=kOQ，
∴向量和共线．
（2）k=2或k=
1
2
（3）共线，理由如下：
由题意知，直线QM和直线QN的斜率存在，且互为相反数，
故可设QM：y-1=k1（x-1），则QN：y-1=-k1（x-1），
由
y - 1 = k 1 （ x - 1 ） |
x 2 + y 2 = 2 |
k
1
2
∵点Q的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得
x
M
=
k
1
2
-
2
k
1
-
1
1
+
k
1
2
同理可得
x
N
=
k
1
2
+
2
k
1
-
1
1
+
k
1
2
∴kMN=
y
N
-
y
M
x
N
-
x
M
-
k
1
（
x
N
-
1
）
-
k
1
（
x
A
-
1
）
x
N
-
x
M
2
k
1
-
k
1
（
y
N
+
y
M
）
x
N
-
x
M
∴向量
OQ
MN
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：536引用：2难度：0.3
