已知函数
f
（
x
）
=
a
e
x
x
+
lnx
-
x
（a＞0）．
（1）若a=1，讨论f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）存在两个极小值点x₁，x₂，求实数a的取值范围；
（3）当a＞1时，设
F
（
x
）
=
f
（
x
）
-
（
2
lnx
-
x
+
1
x
）
，求证：
F
（
x
）
≥
ln
（
ax
）
x
-
lnx
+
e
-
1
．

【答案】（1）函数f（x）单调递减区间为（0，1），函数f（x）单调递增区间为（1，+∞）；
（2）a∈（0，

）；
（3）证明过程见解答．

【解答】

【点评】

声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。

发布：2024/6/27 10:35:59组卷：344引用：5难度：0.2

相似题

1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：297引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：48引用：4难度：0.5
解析
3．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：187引用：2难度：0.1
解析

已知函数f（x）=aexx+lnx-x（a＞0）．（1）若a=1，讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）存在两个极小值点x1，x2，求实数a的取值范围；（3）当a＞1时，设F（x）=f（x）-（2lnx-x+1x），求证：F（x）≥ln（ax）x-lnx+e-1．