已知椭圆C：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=

2

2

，与双曲线

x

2

-

y

2

=

1

2

有相同的焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）过点F₁的直线l与该椭圆C交于M、N两点，且|

F

2

M

+

F

2

N|=

2

26

3

，求直线l的方程．
（Ⅲ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任一条切线与椭圆C有两个交点A、B，且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，否则，说明理由．

【考点】椭圆的几何特征．

【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）y=x+1或y=-x-1；
（Ⅲ）假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB，
①当圆的切线不垂直x轴时，设该圆的切线方程为y=kx+m，
与x²+2y²=2联立得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴Δ=8（2k²-m²+1）＞0，
∴，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=，
∵=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴，
∴3m²-2k²-2=0，则2k²=3m²-2，
∴对任意k，符合条件的m满足，
∴，即m≥或m≤-，
∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
∴圆的半径为r=，=，
∴所求的圆为，此时该圆的切线y=kx+m都满足m≥或m≤-，
∴所求的圆为，
②当切线的斜率不存在时，切线x=±，
与椭圆x²+2y²=2的两个交点为（，±）或（-，±），
满足OA⊥OB，
综上，存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB．