如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴的交点为C（0，-3），顶点为D（1，-4）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若平行于x轴的直线与抛物线交于M，N两点，与抛物线的对称轴交于点H，若点H到x轴的距离是线段MN长的12，求线段MN的长；
（3）若经过C，D两点的直线与x轴相交于点E，F是y轴上一点，且AF∥CD，在抛物线上是否存在点P，使直线PB恰好将四边形AECF的周长和面积同时平分？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
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【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x 2-2x-3；
（2）线段MN的长度是1+或-1+；
（3）在抛物线上存在点P（-，-），使直线PB恰好将四边形AECF的周长和面积同时平分．
（2）线段MN的长度是1+
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（3）在抛物线上存在点P（-
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：1085引用：4难度：0.1
相似题
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1．在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，经过点B（3，6）的抛物线
与x轴的正半轴交于点A．y=-12x2+bx
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，且点P在抛物线对称轴的右侧，连接OP，AP，设点P的横坐标为t,△OPA的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，当时，连接BP，点C为线段OA上的一点，过点C作x轴的垂线交BP的延长线于点D，连接OD，BC，若S=352，求点C的坐标．∠ODB-12∠CBD=∠POA发布：2025/5/26 9:0:1组卷：39引用：1难度：0.1 -
2．已知抛物线过点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）
（1）求解析式；
（2）P是直线AB上方抛物线上一点，不与A、B重合，PD⊥AB于D，PF⊥x轴于F，与AB交于E．
①当C△PDE最大时，求P的坐标；
②以AP为边作正方形APMN，M或N恰好在对称轴上，求P的坐标．发布：2025/5/26 9:0:1组卷：137引用：1难度：0.4 -
3．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②；③当0＜t≤5时，cos∠ABE=35；④当y=25t2秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）t=294发布：2025/5/26 9:0:1组卷：8479引用：28难度：0.5
