数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的，数学知识往往起源于人们为了解决某些问题，通过观察、测量、思考、猜想出的一些结论．但是所猜想的结论不一定都是正确的．人们从已有的知识出发，经过推理、论证后，如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．
（1）推理证明：
在八年级学习等腰三角形和直角三角形时，借助工具测量就能够发现：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，当时并未说明这个结论的正确性．九年级学习了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了．如图1，在Rt△ABC中，若CD是斜边AB上的中线，则CD=12AB，请你用矩形的性质证明这个结论的正确性．
（2）迁移运用：利用上述结论解决下列问题：
①如图2，在线段BD异侧以BD为斜边分别构造两个直角三角形△ABD与△CBD，E、F分别是BD、AC的中点，判断EF与AC的位置关系并说明理由；
②如图3，▱ABCD对角线AC、BD相交于点O，分别以AC、BD为斜边且在同侧分别构造两个直角三角形△ACE与△BDE，求证：▱ABCD是矩形．
CD
=
1
2
AB
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）见解析；
（2）①EF垂直平分AC；
②见解析．
（2）①EF垂直平分AC；
②见解析．
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/24 10:30:2组卷：291引用：3难度：0.5
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1．（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6．将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求AE的长．
（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的三等分点，∠D=60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交直线BC于点P，求PC的长．
发布：2025/5/24 16:0:1组卷：7156引用：10难度：0.1 -
2．如图1，在矩形ABCD中，AB=2，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F=30°，将△EFG绕点E旋转．
（1）若EF，EG分别与线段AB，线段BC相交于点M，N（如图2）．求证：BM=CN；
（2）在（1）的条件下，
①△BMN面积的最大值 ．
②当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），sin∠EBG的值 ．
（3）在旋转过程中，射线EF与直线BC交于P，射线EG与直线CD交于Q，S△EPQ=30，CP=．发布：2025/5/24 16:0:1组卷：139引用：1难度：0.2 -
3．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在对角线上的点E处．过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）判断四边形EFDG的形状，并说明理由；
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若GF=2，，求AG的长．DF=23发布：2025/5/24 16:0:1组卷：81引用：1难度：0.1
