某数学活动小组在研究反比例函数与几何图形位置关系时，经历了如下过程：
如图1，正方形ABCD在平面直角坐标系第一象限中，AB∥x轴，AD∥y轴，A（m,n），AB=a.
（1）发现问题：小明说：“对于任意的点A（m,n）一定存在一个反比例函数

y

=

k

x

（

k

≠

0

）

的图象同时经过点B，D．”
小红说：“这是一个假命题．”
你支持谁的说法，请说明理由．
（2）数学思考：若存在一个反比例函数

y

=

k

x

（

k

≠

0

）

的图象同时经过点B，D，则m与n之间的数量关系为

m=n

m=n

；
（3）数学应用：①若点A（1，1），AB=2，反比例函数

y

=

k

1

x

同时经过点B，D，则k₁=

3

3

；
②在①的条件下，如图2，点E，F分别在BC，DC的延长线上，且CE=CF=1，反比例函数

y

=

k

2

x

的图象同时经过点E，F，则k₂=

12

12

；
③在②的条件下，若点P，Q在反比例函数y=

k

3

x

上，且四边形EFPQ是正方形，则k₃=

6或20

6或20

．