如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD=1，求⊙O的直径．
【考点】切线的判定．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2025/6/13 20:30:1组卷：726引用：8难度：0.5
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1．观察思考：
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米．
解决问题：
（1）点Q与点O间的最小距离是 分米；点Q与点O间的最大距离是 分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米；
（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？
为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．发布：2025/6/13 23:30:1组卷：914引用：31难度：0.1 -
2．如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
（1）当OP OC时，△OPC的最大面积为 ；
（2）如图2，延长PO交⊙O于点D，连接BD，且BD=CP．求证：CP是⊙O的切线．
发布：2025/6/14 20:0:1组卷：383引用：4难度：0.6 -
3．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,AD=6cm,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动，P、Q中有一点到达终点时，另一点随之停止运动．
（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
（2）几秒后，△DPQ是直角三角形；
（3）在运动过程中，经过秒，以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切．发布：2025/6/14 17:30:2组卷：884引用：2难度：0.4
